5.1 Unterschiedliche Typen der Monotonie von Funktionen

Hinsichtlich des Steigungsverhaltens unterscheidet man vier Typen, die durch folgende Beispiele veranschaulicht werden. Die strenge Monotonie schließt waagerechte Bereiche einer Funktion aus. Sie verlangt, dass eine Funktion stets steigt oder fällt und ist damit eine stärkere Eigenschaft als die Monotonie.

Für jede differenzierbare (ableitbare) Funktion \(f\)  wird die Art der Monotonie mit dem Vorzeichen der Ableitung \(f'\) charakterisiert.

 

Streng monotone Funktionen

 

streng monoton steigende Funktion

\(f'(x)>0 \Leftrightarrow f \) ist streng monoton steigend

streng monoton fallende Funktion

\(f'(x)<0 \Leftrightarrow f \) ist streng monoton fallend

streng monoton steigende Funktion streng monoton fallende Funktion
Beide Funktionsgraphen steigen bzw. fallen im gesamten Bereich. Es gibt keine waagrechten Anteile im betrachteten Intervall. D.h. beide Funktionen steigen bzw. fallen streng monoton.

 

Monotone Funktionen


monoton steigende Funktion

\(f'(x) \geq 0 \Leftrightarrow f \) ist monoton steigend

monoton fallende Funktion

\(f'(x) \leq 0 \Leftrightarrow f \) ist monoton fallend

monoton steigende Funktionen monoton fallende Funktion

In beiden Funktionsgraphen gibt es waagrechte Anteile. Im betrachteten Intervall ändert sich die Monotonie grundsätzlich jedoch nicht.

  • Der linke Graph steigt vor dem waagrechten Teil und steigt auch hinterher wieder. Er ist damit monoton steigend.
  •  Der rechte Graph fällt vor dem waagrechten Teil und fällt auch hinterher wieder. Er ist damit monoton steigend.