- 5. Monotoniebetrachtung
- 5.1 Monotonie - Typen
- 5.2 Monotonie-Intervalle
- 5.3 Funktion und Ableitung
- 5.4 Monotonieverhalten
- 5.5 Extremstellen
- 5.6 Wendepunkte
5. Monotonie von Funktionen
Grundsätzlich muss die Untersuchung der Monotonie bzw. dem Steigungsverhalten beliebiger Funktionen fester Bestandteil der Kurvendiskussion sein.
\[Monotonieverhalten \hspace{1cm} \widehat{=} \hspace{1cm} Steigungsverhalten \]
Mit den Ergebnissen dieser Analyse ist man schnell in der Lage, Rückschlüsse auf den Verlauf eines Funktionsgraphen zu ziehen und diesen mit den weiteren Ergebnissen der Kurvendiskussion wie
- Definitionslücken,
- Achsenschnittpunkte,
- Symmetrieverhalten
- Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereiches usw., zu skizzieren.
Monotonieverhalten bestimmen
Man bestimmt das
Monotonieverhalten einer differenzierbaren (ableitbaren) Funktion \(f\) in
der Regel mit Hilfe deren Ableitung \(f'\).
Mit Hilfe der Ableitung bestimmt man Bereiche in denen der Graph \(G_f\) einer Funktion \(f\) (streng) monoton steigend oder (streng) monoton fallend ist.
Dabei gelten folgende Zusammenhänge:
- Falls \(f'(x) \geq 0 \hspace{1em} \Longleftrightarrow \hspace{1em} \) Funktion \(f\) ist monoton steigend
- Falls \(f'(x) \leq 0 \hspace{1em} \Longleftrightarrow \hspace{1em} \) Funktion \(f\) ist monoton fallend