5.3 Zusammenhang von Funktion und Ableitung

Aus den bisherigen Überlegungen in diesem Kapitel ist bereits deutlich geworden, dass zwischen einer beliebigen Funktion \(f\) und ihrer Ableitungsfunktion \(f'\) wichtige Zusammenhänge bestehen.

 

Steigung eines Funktionsgraphen

Grundsätzlich kann mit Hilfe der Ableitungsfunktion \(f'\) an jeder Stelle \(x_0\), an der die Funktion \(f\) differenzierbar ist, die Steigung des Graphen \(G_f\) berechnet werden.

Im Folgenden wird die Analyse der Steigung weiter spezifiziert, um detaillierte Erkenntnisse über den Verlauf des Graphen mit Hilfe seiner Steigung zu gewinnen. Diese Analyse des Steigungsverhaltens eines Funktionsgraphen werden wir im weiteren Verlauf nur noch als Monotoniebetrachtung bezeichnet.

 

Applet - Funktion und Ableitungsfunktion

Das vorliegende Applet zeigt den Graphen der Funktion \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-2x+\frac{8}{3}\)  und seiner Ableitungsfunktion \(f'\) (roter Graph).

Der Punkt \(P\) kann auf dem Graphen \(G_f\) verschoben werden. Das im Punkt \(P\) angelegte Tangentenstück verdeutlicht die Steigung des Graphen in \(x_P\).

Analysiere den Zusammenhang zwischen \(G_f\) und \(G_{f'}\) und beantworte die unten angeführten Fragen!

Fragen:

  1. Wo verläuft der Graph der Ableitung wenn \(G_f\) steigt? Warum?
  2. Wo verläuft der Graph der Ableitung wenn \(G_f\) fällt? Warum?
  3. Ermittle die graphisch die Steigungen von \(G_f\) an \(x=-1,5;0; 4 \).
  4. Wie könnte man die genaue x-Stelle der Punkte MIN und MAX bestimmen?
  5. Welche Eigenschaft hat die Nullstelle \(x=1\) hinsichtlich des Steigungsverhaltens?