Nachfolgend einige Übungsaufgaben zur Multiplikation und Division mit Bruchtermen.
Beispiel 1: \( \hspace{1cm} \frac{2x}{3-x} : \frac{4-2x}{3-x} \)
\( \frac{2x}{3-x} : \frac{4-2x}{3-x} = \frac{2x}{3-x} \cdot \frac{3-x}{4-2x}= \frac{2 \cdot x \cdot (3-x)}{(3-x) \cdot 2 \cdot (2-x)} = \frac{x}{2-x}\)
Beispiel 2: \( \hspace{1cm} \frac{6-x}{2x-1} \cdot \frac{6x-3}{2x-12} \)
\( \frac{6-x}{2x-1} \cdot \frac{6x-3}{2x-12} = \frac{(6-x) \cdot 3 \cdot (2x-1)}{(2x-1) \cdot (-2) \cdot (-x+6)} = - \frac{3}{2} \)
Beispiel 3: \( \hspace{1cm} \frac{(x+2) \cdot(x-3)}{2x} : \frac{5x+10}{4x} \)
\( \frac{(x+2) \cdot(x-3)}{2x} : \frac{5x+10}{4x} = \frac{(x+2) \cdot(x-3)}{2x} \cdot \frac{4x}{5x+10} = \frac{(x+2) \cdot (x-3) \cdot 4 \cdot x}{2 \cdot x \cdot 5 \cdot (x+2)} =\frac{(x-3) \cdot 2}{5} = \frac{2x-6}{5}\)
Beispiel 4: \( \hspace{1cm} \frac{4x}{x-2} : \frac{8-2x}{(x-2)^2} \)
\( \frac{4x}{x-2} : \frac{8-2x}{(x-2)^2} = \frac{4x}{x-2} \cdot \frac{(x-2)^2}{8-2x}= \frac{4x \cdot(x-2)(x-2)}{(x-2) \cdot 2 \cdot (4-x)} = \frac{2 \cdot x \cdot (x-2)}{(4-x)} = \frac{2x^2-4x}{4-x}\)
Beispiel 5: \( \hspace{1cm} \frac{x+2}{x+1} \cdot (3x+3)^2 \)
\( \frac{x+2}{x+1} \cdot (3x+3)^2 = \frac{x+2}{x+1} \cdot \frac {(3x+3)^2}{1} =\frac{(x+2) \cdot (3x+3)^2}{(x+1) \cdot 1} = \frac{(x+2) \cdot (3x+3) \cdot (3x+3)}{(x+1) \cdot 1} = \)
\( = \frac{(x+2) \cdot 3 \cdot (x+1) \cdot (3x+3)}{(x+1) \cdot 1} = \frac{(x+2) \cdot 3 \cdot (3x+3)}{1} = (3x+6)(3x+3) = 9x^2+27x+18 \)
Beispiel 6: \( \hspace{1cm} \frac{x-3}{x} : \frac{6-2x}{5x^2} \)
\( \frac{x-3}{x} : \frac{6-2x}{5x^2} = \frac{x-3}{x} \cdot \frac{5x^2}{6-2x} = \frac{(x-3) \cdot 5 \cdot x \cdot x}{x \cdot (-2) \cdot (-3+x)} =-2,5x \)
Beispiel 7: \( \hspace{1cm} 7x : \frac{63x^2}{3x-3} \)
\( 7x : \frac{63x^2}{3x-3} =\frac{7x}{1} : \frac{63x^2}{3x-3} = \frac{7x}{1} \cdot \frac{3x-3}{63x^2} = \frac{7 \cdot x \cdot 3 \cdot (x-1)}{7 \cdot 3 \cdot 3 \cdot x \cdot x} = \frac{x-1}{3x}\)