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5.5 Bruchterme erweitern

Bruchterme sind Brüche, bei denen auch im Nenner Variablen vorkommen. Diese können ebenso wie gewöhnliche Brüche gekürzt und erweitert werden.  

Bruchterme erweitern bedeutet jedoch, dass man den ganzen Zähler und den ganzen Nenner mit der gleichen Zahl, der gleichen Variablen bzw. dem gleichen Term multiplizieren. Diese drei unterschiedlichen Typen werden im Folgenden mit Hilfe anschaulicher Beispiele verdeutlicht.

Besonders beachtet werden muss dabei das Einklammern von Summen oder Differenzen im Zähler bzw. Nenner oder des Erweiterungsterms.

 

Erweitern mit einer Zahl Erweitern mit einem Term

 

Ausführliche Beschreibung der unterschiedlichen Typen

 

  • Erweitern eines Bruches mit einer Zahl


     Beachte insbesondere die Notwendigkeit der Klammern beim Erweitern. Sowohl die Differenz im alten Zähler als auch die Summe im alten Nenner müssen als Ganzes multipliziert werden, was durch was durch das Einklammern der entsprechenden Terme sichergestellt wird.

  

Erweitern mit einer Zahl

  • Erweitern eines Bruches mit einer Variablen

    Ebenso wie bei Erweiterung eines Bruchterms mit einer Zahl muss auch bei der Erweiterung mit einer Variablen analog die Klammerung der Terme im Zähler und Nenner  beachtet werden.

 

Erweitern mit einer Variablen

  • Erweiterung eines Bruchterms mit einem beliebigen Term

    Die Erweiterung eines Bruchterm können wir aus den vorherigen Beispielen unmittelbar ableiten:

    1. Multiplizieren von Zähler und Nenner mit dem Erweiterungsterm
    2. Einklammern des Erweiterungsterms sowie  der Terme von Zählers und Nenner
    3. Ausmultiplizieren von Zähler und Nenner
    4. Zusammenfassen von Zähler und Nenner

Erweiterung mit einem Term

 

Das letzte Beispiel verdeutlicht:
Kommen im Zähler und/oder Nenner Summen oder Differenzen vor, dann müssen beim Erweitern mit Summentermen die Rechenregeln zur Multiplikation von Summen beachtet werden:

"Jeder Summand der ersten Klammer muss mit jedem Summand der
zweiten Klammer multipliziert werden. Dabei müssen die Vorzeichen
bei der Berechnung der einzelnen Produkte natürlich beachtet werden!" 

 

Was tun, wenn der Zähler fehlt?

Im Falle der Gleichheit zweier Bruchterme, kann ein Bruchterm durch eine geeignete Erweiterung in den zweiten Bruchterm übergeführt werden. Dieses Idee kann uns helfen, einen fehlenden Zähler oder auch Nenner zu bestimmen.

Das nachfolgende Video beschreibt die Berechnungen an einem Beispiel, bei dem der Zähler des zweiten Bruchterms fehlt!

 

 

 

 

Übertrage den Hefteintrag in dein Schulheft und erledige die dazugehörige Hausaufgabe!

Hefteintrag Aufgabe 1 Lösung
  Übung 1