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4.4 Gebrochen rationale Funktionen

Funktionen wie \(f:x\mapsto \frac{1}{x}\), \(g:x\mapsto \frac{2}{x+3}\) oder \(h:x\mapsto \frac{5-t}{t^2}\), deren Funktionsterm ein Bruchterm ist, heißen gebrochen rationale Funktionen.

Definitionsbereich und Definitionslücken
Alle x-Werte für die der Nenner null wird, dürfen in den Funktionsterm nicht eingesetzt werden. Diese Werte können also nicht in der Definitionsmenge enthalten sein.


Beispiel: In die Funktion \(g:x\mapsto \frac{2}{x+3}\) dürfen wir \(x_n = -3 \) nicht einsetzen.

  • Als Definitionsmenge erhalten wir \(  D = Q \;  \setminus \; \{-3\} \)
  • \(x_n = -3 \) ist dann die Definitionslücke der Funktion g.


  gebrochen rationale FunktionFür unendlich große (positive) x-Werte und unendlich kleine (negative) x-Werte nähern sich die Funktionswerte der Zahl 0 an. Der Graph schmiegt sich an die Gerade \(y=0\) an. Man nennt diese waagerechte Asymptote des Graphen von \(f\) .

Die senkrechte Gerade \(x=-3\) ergibt sich stets durch die Definitionslücke. Sie ist die senkrechte Asymptote des Graphen, da sich der Graph an diese Gerade für x-Werte nahe an der Definitionslücke annähert.

Die Funktionswerte in der Nähe der Definitionslücke werden unendlich groß bzw. unendlich klein. Das bedeutet, dass der Graph den gezeichneten Ausschnitt des Koordinatensystems nach oben bzw. nach unten verlässt!

Definitonsmenge, Wertetabelle und Graph



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Hefteintrag Aufgabe Lösung