4.3 Analyse von Funktionen mit Bruchtermen

Unsere Funktionen mit Bruchtermen unterscheiden sich offensichtlich von allen anderen Funktionen, die wir bisher kennengelernt haben in zwei markanten Bereichen:

Wir müssen uns genau überlegen, welche Funktionswerte die Funktion ausgibt, wenn wir unendlich kleine (unendlich negative) x-Werte oder unendlich große (unendlich positive) in diese Funktion einsetzen.

Ebenfalls müssen wir uns mit geeigneten Berechnungen Gedanken machen, welche Funktionwerte wir erhalten, wenn wir den Graphen der Funktion im Bereich der kritischen Stelle zeichnen wollen.

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Zwei Fragen sollten wir dabei stets beantworten können!

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• Welche Funktionswerte erhalten wir für sehr große und auch für sehr kleine x-Werte?
  
  \(\Rightarrow \;\) Dazu setzen wir große und sehr kleine x-Werte in den Funktionsterm ein.
  \(\Rightarrow \;\) z.B: ....-1000, -100, -10 .......+10, +100, +1000...
  \(\Rightarrow \;\) Die Ergebnisse der Berechnungen verwerten wir beim Zeichnen des Graphen.

 

• Welche Funktionswerte erhalten wir für x-Werte die  beidseitig sehr nahe an der kritischen Stelle liegen?
  
  \(\Rightarrow \;\) Dazu setzen wir x-Werte in den Funktionsterm ein, die links ganz nahe 
  \(\Rightarrow \;\) und x-Werte, die rechts ganz nahe an dieser Stelle sind!
  \(\Rightarrow \;\) Die Ergebnisse der Berechnungen verwerten wir zum Zeichnen des Graphen.

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Beispiel

• Gegeben ist die Funktion \(f:x \mapsto y= \frac{4}{x+3} \)
  
• Wir erkennen sofort (hoffentlich) die kritische Stelle: \(x_k = -3\)
  
  
• Erforderliche x-Werte die links nahe an  \(x_k = -3\) liegen: \(-3,5\;|\;-3,1\;|\;-3,01 \)
• Erforderliche x-Werte die rechs nahe an  \(x_k = -3\) liegen: \(-2,99\;|\;-2,9\;|\;-2,5 \)

 

Aufstellen einer geeigneten Wertetabelle:

Zusammen mit den notwendigen sehr großen bzw. sehr kleinen x-Werten würde sich folgende Wertetabelle anbieten:

x	-100	-10	-5	-4	-3,5	-3,1	-3,01	-3	-2,99	-2,9	-2,5	-2	-1	10	100
y

Hinweis zum Zeichnen des Graphen
Vor dem Eintragen der berechneten Punkte, zeichnest du in das Koordinatensystem eine senkrechte Gerade an der kritischen Stelle ein, damit diese markiert wird.

In unserem Fall wäre es die Gerade \(x=-3\).

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Übertrage den Hefteintrag in dein Schulheft und erledige die dazugehörige Hausaufgabe!

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Hefteintrag	Aufgabe_1	Lösung_1
	Aufgabe_2	Lösung_2