Geogebra

4.5 Einbeziehung der Ableitung in die Kurvendiskussion

 

Werkzeuge der Kurvendiskussion

Die systematische Analyse von Funktionen wird unter dem Begriff der Kurvendiskussion zusammengefasst. Für die ganzrationale Funktionen müssen wir nach dem jetzigen Kenntnisstand folgende Werkzeuge beherrschen:

  • Definitionsmenge festlegen und Wertemenge bestimmen
  • Achsenschnittpunkte bestimmen
  • Verhalten des Graphen im Unendlichen bestimmen
  • Symmetrie bestimmen
  • Ableitung ganzrationaler Funktionen berechnen
  • Steigung des Funktionsgraphen analysieren

  • Tangenten an den Graphen in beliebigen Punkten berechnen

 

Ableitung und Steigung einer Funktion

 

Beispiel:

\(f(x)=2x^3-5x^2-5x+8\)

\(f'(x)=6x^2-10x-5\)

\(f'(2)=-1<0\)
\(f'(3)=18>0\)

\(G_f \space fällt\)
\(G_f \space steigt\)

Merke:
Mit Hilfe der Ableitung \(f'\) einer Funktion \(f\) kann an jeder Stelle \(x_0\), an der die Funktion differenzierbar ist, der Wert der Steigung \(f'(x_0)\) berechnet werden.

Mit diesem Ergebnis kann unmittelbar auf das Steigungsverhalten der Graphen \(G_f\) in der Umgebung des jeweiligen x-Wertes geschlossen werden.

 

Aufgaben zur Bearbeitung: Buch S. 51/4 außer Teilaufgabe d)  

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