Geogebra

4. Ableitung von Funktionen \(\Leftrightarrow\)  Ableitungsfunktion

Für jede beliebige Funktion \(f\) können wir uns mit Hilfe des Differentialquotienten an jeder Stelle \(x_0 \in D_f \) die Ableitung \(f'(x_0) \) berechnen.

 

\[f'(x_0)= \lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} =\lim \limits_{h \to
0} \frac{f(x_0 +h)-f(x_0)}{h} \]   

Dieser so ermittelte Wert für \(f'(x_0) \) gibt anschaulich die Steigung der Tangenten an Graphen \(G_f\) im Punkt \(P(x_0 | f(x_0) \) wieder und diese definiert bekanntlich die Steigung des Graphen in diesem Punkt.

 

Die Ableitungsfunktion

 
Um bei einer gegebenen Funktion \(f\) nicht an jeder Stelle \(x_0\) z.B. \(x_0=3; \space x_0=4; \space x_0=5  \) usw. jedes Mal den aufwendigen Differentialquotienten berechnen zu müssen, werden im folgenden Kapitel Verfahren entwickelt, mit denen man die Ableitungen \(f'(x_0)\) für möglichst viele Funktionen einfacher bestimmen kann. 

Wir erhalten dabei als Ergebnisse verschiedene Ableitungsfunktionen \(f'(x)\) und Ableitungsregeln, die uns die Arbeit sehr erleichtern.

Allgemein gilt:
Die Funktion \(f': x \mapsto f'(x)\) heißt Ableitungsfunktion oder kurz Ableitung einer Funktion \(f\).

  • Die Bestimmung der Ableitungsfunkton \(f'\) nennt man Ableiten oder Differenzieren.
  • Die Ableitung einer Funktion \(f\) ordnet jeder Stelle \(x \), für die \(f\) differenzierbar ist, einen eindeutigen Wert für die Steigung des Graphen zu.