4.1 Die Ableitung von Potenzfunktionen

In diesem Abschnitt wird die Ableitung von Potenzfunktonen mit natürlichen Exponenten behandelt, d.h. von Funktionen der Form

\( f:x \mapsto y= f(x)=x^n \hspace{3cm}\)mit \(x \in \mathbb{R}\) und \(n \in\mathbb{N}\)

 

Entwicklung der Ableitungsregel für Potenzfunktionen

 

Die Ableitung der Funktion \(f(x)=x^2\)

Formale Herleitung der Ableitung von \(f(x)=x^2\)

Formale Herleitung



Die Ableitung der Funktion \(f(x)=x^3\)

Formale Herleitung der Ableitung von \(f(x)=x^3\)

Formale Herleitung



Entwicklung der Ableitung für Funktionen \(f(x)=x^n\)

Formale Herleitung der Ableitung von \(f(x)=x^n\)

Formale Herleitung


 

 

Die Potenzregel

 

Für jede natürliche Zahl \(n\) als Exponent ist die Potenzfunktion \(f(x)=x^n\) differenzierbar und es gilt für Bestimmung der Ableitung die Potenzregel:

\[f(x)=x^n  \hspace{1.5cm} \Longrightarrow  \hspace{1.5cm} f'(x)=n \cdot x^{n-1} \]

Vorgehen in Worten:

  • Nimm den Exponenten \(n\) als Faktor vor die Funktionsvariable \(x\).
  • Reduziere den Exponenten von \(x\) um eins.