Geogebra

4.4 Überblick der bisherigen Ableitungsregeln

Für bestimmte Funktion \(f\) können wir uns mit Hilfe der Ableitungsregeln, die wir durch Anwendung des Differentialquotienten entwickelt haben, relativ unkompliziert die zugehörige Ableitungsfunktion erarbeiten. Folgende Auflistung gibt einen Überblick der bisherigen Ergebnisse.

 

Überblick über die Ableitungsregeln

 

Funktion Ableitung  

  \(f(x)=c\)

     \(f'(x)=0\) Waagerechter Graph

  \(f(x)=x\)

     \(f'(x)=1\) Lineare Funktion

  \(f(x)=x^2\)  

     \(f'(x)=2x\)    

  \(f(x)=x^3\)  

     \(f'(x)=3x^2\)  

  \(f(x)=x^n \)

     \(f'(x)=n \cdot x^{n-1}\) Potenzregel 

  \(f(x)=c \cdot g(x)\)   mit   \(c \in R\)  

     \(f'(x)=c \cdot g'(x)\) Faktorregel
 \(f(x)=g(x) + h(x)\)      \(f'(x)=g'(x) + h'(x)\) Summenregel

 

Ergebnisse zur Ableitungsfunktion \(f'(x)\) einer Funktion \(f\):

  • Das Berechnen der Ableitungsfunktion nennt man Ableiten oder Differenzieren.
  • Existiert die Ableitung an jeder Stelle \(x \in D_f\), so ist die Funktion \(f\) differenzierbar in ihrem Definitionsbereich \(D_f\) und ihre Ableitungsfunktion (Kurz: "Ableitung von f") lautet: \[f':x \mapsto f'(x) \]
  • Die  Ableitung ordnet jeder Stelle \(x \in R\) den Wert der Steigung des Graphen der Funktion \(f\) zu.
     
  • Jede ganzrationale Funktion \(f\) vom Grad \(n\) ist differenzierbar.
    Ihre Ableitung ist eine ganzrationale Funktion vom Grad \(n-1\).