Im Verlaufe dieser digitalen Einheit zur Wahrscheinlichkeitsrechnung haben wir viele neue Begriffe kennengelernt, die wir nun wiederholen und zusammenfassen wollen:
| Begriff | Beispiel |
| Der Ergebnisraum: Die Menge aller Ergebnisse eines Zufallsexperiments nennen wir Ergebnisraum. Dieser Ergebnisraum wird mit \(\Omega\) bezeichnet und alle möglichen Ergebnisse mit \(\omega_1, \omega_2, \omega_3,...\) |
Werfen eines Würfels: \( \Omega = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\} \) Beachte die Schreibweise mit der Mengenklammer! |
|
Ereignis: Bei einem Zufallsexperiment interessieren häufig nur bestimmte Ergebnisse, die zum sogenannten Ereignis E zusammengefasst werden. Dieses Ereignis E ist eine Teilmenge von \(\Omega\). Man sagt: Das Ereignis E ist eingetreten, wenn bei der Durchführung unseres Zufallsexperiments ein Ergebnis aus E eingetreten ist. |
Wir suchen beim Werfen eines
Würfels nur alle Primzahlen. \(E=\{ 2, 3, 5\} \) Das Ereignis \(E\) tritt somit ein, wenn eine 2, 3 oder 5 gewürfelt wird. |
|
Gegenereignis \(\overline E \) \(\Leftrightarrow\) "Gegenteil vom
Ereignis \(E\)" Im Gegenereignis \(\overline E \) sind alle Elemente von \(\Omega \) enthalten die nicht zum Ereignis \(E\) gehören. |
In unserem Fall sind das alle
"Nicht-Primzahlen": \(\overline E = \{1, 4, 6 \} \) |
|
Wahrscheinlichkeit Bei jedem Zufallsexperiment kann den Ereignissen \(E\) eine Wahrscheinlichkeit zwischen \(0\) und \(1\) zugeordnet werden. Diese Wahrscheinlichkeit kann über eine lange Versuchsreihe (z.B. 1000maliger Würfelwurf) durch die "stabilisierende" relative Häufigkeit angegeben werden. |
Beim Spielwürfel hat jede Seite des Würfels die Wahrscheinlichkeit \(\frac {1}{6}\) |
|
Laplace - Experimente Alle Zufallsexperimente, bei denen die einzelnen Ergebnisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten, heißen Laplace-Experimente! Hat ein Laplace-Experiment n mögliche Versuchsausgänge, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit für jedes einzelne Ergebnis \(\frac {1}{n}\) |
In einer Lostrommel liegen 35
nummerierte Lose. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ich das Los mit der Nummer 13 ziehe, beträgt also: \(P("13")= \frac {1}{35}\) |
|
Laplace-Wahrscheinlichkeit Bei Laplace-Experimenten können wir die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) eines Ereignisses \(E\) mit folgender Formel berechnen: \(P(A)=\frac{Anzahl \; der\; für\; A\; günstigen\; Ergebnisse}{Anzahl\; aller\; möglichen\; Ergebnisse}\)=\(\frac{|E|}{|\Omega|}\) |
Für das Beispiel der Lostrommel
gilt für das Ereignis E: "Augenzahl gerade" \(P(E)=\frac{17}{35} \) |
|
Zählprinzip Die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten ist gleich dem Produkt der Anzahlen der unterschiedlichen Ergebnisse in den einzelnen Stufen eines Experiements. |
Hans hat zwei Pullis, drei
Hosen und vier Socken zur Auswahl. Denkbar sind also \(2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\) verschiedene Kombinationen. Die Frage ist nur: Passt auch wirklich alles zusammen? |
Übertrage den Hefteintrag in dein Schulheft und erledige die dazugehörige Hausaufgabe!
| Hefteintrag | Aufgaben 1-8 | Lösung 1-8 |
| Zusammenfassung | Aufgaben 9-14 | Lösung 9-14 |