In Kapitel 3.4 berechneten wir Integrale mit Hilfe der Flächeninhaltsfunktion. Nach der Einführung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung können wir entsprechende Aufgaben über eine beliebige Stammfunktion gemäß folgender Regel berechnen:
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Ist \(F(x)\) eine beliebige Stammfunktion einer im Intervall \([a;b]\) stetigen Funktion \(f(x)\) dann gilt: \(\int\limits_{a}^{b} f(x)dx=\biggl[F(x)\biggr]_a^b=F(b)-F(a)\) |
Die Beispiele 1 - 3 aus Kapitel 3.4 sind entsprechend dieser Regel umgeschrieben worden:
Berechne die Fläche zwischen dem Graphen \(\small G_f\) mit \( \small f(x)=\frac{1}{4}x^2+1\) und der x-Achse im Intervall \( [0;4]\).
| Flächenberechnung: |
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| \(\int\limits_0^4 f(x)dx=\biggl[\frac{1}{12}x^3+x\biggr]_0^4=\biggl[\frac{1}{12} \cdot 4^3+4\biggr]-\biggl[\frac{1}{12} \cdot 0^3+0\biggr]=\frac{28}{3}-0=\frac{28}{3}\) | |
Berechne die Fläche zwischen dem Graphen \(\small G_f\) mit \( \small f(x)=\frac{1}{4}x^2+1\) und der x-Achse im Intervall \( [2;4]\).
| Flächenberechnung: |
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| \(\int\limits_2^4 f(x)dx=\biggl[\frac{1}{12}x^3+x\biggr]_2^4=\biggl[\frac{1}{12} \cdot 4^3+4\biggr]-\biggl[\frac{1}{12} \cdot 2^3+2\biggr]=\frac{28}{3}-\frac{8}{3}=\frac{20}{3}\) | |
Berechne das Integral von 0 bis 3 über der Funktion \( \small f(x)=x^3-3x^2-x+3 \).
| Berechnung des Integrals: |
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| \(\int\limits_0^3 f(x)dx =\biggl[\frac{1}{4}x^4-x^3-\frac{1}{2}x^2+3x\biggr]_0^3=\bigl[\frac{1}{4} \cdot 3^4-3^3-\frac{1}{2} \cdot 3^2+3 \cdot 3 \bigr]-\bigl[0 \bigr]=-\frac{9}{4}\) | |
Die Flächeninhaltsfunktion liefert als Ergebnis eine Flächenbilanz. Wir erkennen außerdem, dass die Fläche unterhalb der x-Achse überwiegt, da das Ergebnis der Berechnung negativ ist.
Gegeben ist die Funktion \(f\) mti dem Funktionsterm \( \small f(x)=x^3-3x^2-x+3 \).
| a) Berechne das Integral von
-1 bis 3 über der Funktion \( \small f \). b) Berechne die Fläche, die der Graph mit der x-Achse begrenzt. |
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| a) Berechnung des Integrals: \(\int\limits_{-1}^3 f(x)dx =\biggl[\frac{1}{4}x^4-x^3-\frac{1}{2}x^2+3x\biggr]_{-1}^3= \) \(\hspace{22mm}=\bigl[\frac{81}{4}-27-\frac{9}{2}+9 \bigr]-\bigl[\frac{1}{4} +1-\frac{1}{2}-3 \bigr]=-\frac{9}{4}- \bigl[ -\frac{9}{4} \bigr] = 0\) |
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Das Ergebnis der Flächenbilanz zeigt, dass der Graph zwei Flächenstücke mit der x-Achse einschließt, wobei das Flächenstück über der x-Achse (positiv orientiertes Flächenstück) die gleiche Fläche hat, wie das Flächenstück unterhalb der x-Achse (negativ orientiertes Flächenstück).
| b) Berechnung der Fläche: \(A= 2 \cdot \int\limits_{-1}^1 f(x)dx =2 \cdot \biggl[\frac{1}{4}x^4-x^3-\frac{1}{2}x^2+3x\biggr]_{-1}^1= \) \(\hspace{41mm}=2 \cdot \biggl[ \bigl[\frac{1}{4}-1-\frac{1}{2}+3 \bigr]-\bigl[\frac{1}{4} +1-\frac{1}{2}-3 \bigr] \biggr]=\) \(\hspace{41mm}= 2 \cdot \biggl[ \frac{7}{4}- \bigl[ -\frac{9}{4} \bigr] \biggr] = 8\) |
Nachdem wir in Teilaufgabe a) festgestellt habe, dass der Graph zwei gleichgroße Flächenstücke mit der x-Achse begrenzt, können wir eine der beiden Flächen berechnen und diese dann verdoppeln.
Alternativ führt auch folgender Weg zum Ziel, der zur Übung eigenständig bearbeitet werden kann:
\(A= \int\limits_{-1}^1 f(x)dx+\biggl|\int\limits_{1}^3 f(x)dx \biggr| = ... =4 + |-4|=8\)
Berechne die Fläche zwischen dem Graphen \(\small G_f\) mit \( \small f(x)=x^2+2\) und dem Graphen \(\small G_g\) mit \( \small g(x)=x+4\).
| Flächenberechnung: 1. Schritt: Schnittstellen berechnen \(\hspace{10mm} \Rightarrow f(x)=g(x)\) ergibt \(x_1=-1\) und \(x_2=2\) 2. Schritt: Fläche aufteilen und berechnen! \(\hspace{10mm} \Rightarrow\) "Fläche unter Gerade minus Fläche unter Parabel" |
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| \(A= \int\limits_{-1}^2 g(x)dx-\int\limits_{-1}^2
f(x)dx=\biggl[\frac{1}{2}x^2+4x\biggr]_{-1}^2-\biggl[\frac{1}{3}x^3+2x\biggr]_{-1}^2=\) \(\hspace{5mm}=\biggl[\bigl[\frac{4}{2}+8\bigr]-\bigl[\frac{1}{2}-4\bigr]\biggr]-\biggl[\bigl[\frac{8}{3}+4 \bigr] - \bigl[\frac{-1}{3}-2\bigr] \biggr]=\frac{27}{2}-9=\frac{9}{2}\) |
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Lösungsidee:
Zur Berechnung der Fläche zwischen den
beiden Graphen greifen wir auf bekannte Muster zurück:
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5.1 Integrationsregeln