3.3 Das Integral einer Funktion

Aus der Simulation zur Berechnung des "vorzeichenbehafteten" Flächeninhalts über die Annäherung der Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse mit Hilfe von Treppenflächen, deren Streifenbreite immer kleiner werden, können wir nun unsere bisherigen Überlegungen verallgemeinern.

 

Das Integral von \(a\) bis \(b\) über einer Funktion \(f\)

Liegt der Graph einer Funktion \(f\) im Intervall \([a;b]\) teilweise oberhalb und teilweise unterhalb der x-Achse, dann bekommen

•  Flächenanteile oberhalb der x_Achse ein positives Vorzeichen und
•  Flächenteile unterhalb ein negatives.

Definition Die Summe der "vorzeichenbehafteten" Teilflächen zwischen dem Graphen einer Funktion \( \small f\) und der x-Achse in einem Intervall \( \small [a;b] \) wird als  Integral von \(a\) bis \(b\) über einer Funktion \(f\) bezeichnet. Schreibweise: \(F_a(b)= \int_{a}^{b} f(x)dx\) Der Wert des Integrals gibt die Flächenbilanz zw. den positiv und negativ orientierten Flächenstücken an. Die Funktion \( \small f\) wird als Integrand bezeichnet. a nennt man untere und b die obere Integrationsgrenze.

 

Flächenbilanz und Wert des Integrals

Das folgende Applet simuliert die Summe von unendlich schmalen Treppenflächen unter Berücksichtigung der Vorzeichen, sprich deren Lage oberhalb bzw. unterhalb der x-Achse und verdeutlich die Entwicklung der Flächenbilanz wenn man die obere Integationsgrenze b mit den Schieberegler verändert:

 

 

 

 

 

 

 

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