Grundlage jeglicher Integration stellt der Hauptsatz der Differential und Integralrechnung (HDI) dar. Dieser führt die Berechnung bestimmter Integrale auf die Berechnung unbestimmter Integrale zurück.
Der HDI ermöglicht also die Berechnung bestimmter Integrale auf Grundlage der Ermittlung einer beliebigen Stammfunktionen \(F\) einer Funktion \(f\).
Falls nun für eine beliebige stetige Funktion \(f\) eine Stammfunktion \(F\) existiert, gilt \(F'(x) = f(x) \) und nach dem HDI gilt dann für ein bestimmtes Integral:
\[ \int\limits_{a}^{b} \; f(x)dx = \biggl[ F(x) \biggr]_a^b = F(b) - F(a)\]
Man berechnet den Wert eines bestimmten Integrals im einerm Intervall \( [a;b]\) über einer Funktion \(f\), indem man vom Funktionswert \(F(b)\) den Funktionswert \(F(a)\) subtrahiert.
Die Bestimmung einer beliebigen Stammfunktion bildet somit die Basis für die Berechnung von bestimmten Integralen.
Mit \( \int f(x) \;dx\) wird das unbestimmte Integral der Funktion \(f\) bezeichnet und beschreibt die Menge aller Stammfunktionen der Funktion \(f\).
| Potenzregel | \(\int x^n \;dx = \frac{1}{n+1} \cdot x^{n+1} + C\) |
| \( \int x^{\frac{3}{2}}\; dx = \frac{1}{\frac{5}{2}} \cdot x^{\frac{5}{2}} + C =\frac{2}{5} \cdot x^{\frac{5}{2}} + C \) |
| Faktorregel | \( \int c \cdot f(x) \;dx = c \cdot \int f(x) \;dx \) |
| \( \int 5 \cdot x^{-3} \;dx = 5 \cdot \int x^{-3}\;dx = 5 \cdot \frac {1}{-2} \cdot x^{-2} +C = - \frac{5}{2} \cdot x^{-2} +C \) |
| Summenregel | \(\int ((f(x)+ g(x)) \; dx = \int f(x) \;dx \; + \; \int g(x) \;dx\) |
| \( \int \frac{1+2 \cdot x^4}{x^2} \; dx = \int ( \frac{1}{x^2}+2 \cdot x^2) \; dx = - \frac{1}{x} + \frac{2}{3}x^3 + C \) | |
| \( \int (\sqrt {x} + sin x) \; dx = \int ( x^{\frac{1}{2}} + sin x) \; dx = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}} - cosx + C\) |
| Logarithmische Integration (I) | \( \int \frac{1}{x} \; dx = ln|x| + C \) |
| \( \int \frac{x^2+3 \cdot x}{x^2} \; dx = \int ( 1 +3 \cdot \frac{1}{x}) \; dx = x + 3 \cdot ln|x| + C \) |
| Sinusfunktion | \( \int sinx \; dx = -cosx + C \) |
| \( \int (2x+3 \cdot sinx) \; dx = x^2-3 c\cdot cosx + C \) |
| Kosinusfunktion | \( \int cosx \; dx = sinx + C \) |
| \( \small \int (6 \sqrt{x} + cosx )\; dx = 6 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}+sinx + C = 4 \cdot x^{\frac{3}{2}}+ sinx + C \) |
| e - Funktion | \( \int e^x \; dx = e^x + C \) |
| \( \int (2 \cdot e^x+e) \; dx = 2 \cdot e^x+e \cdot x + C \) |
| Logarithmische Funktion (II) | \( \int \frac{f'(x)}{f(x)} \; dx = ln |f(x)| + C \) |
| \( \int \frac{4e^{4x}}{e^{4x}-2} \; dx = ln |e^{4x-2}| + C \) |
| Integration von
speziellen Produkten mit der e- Funktion (Umkehrung der Kettenregel) |
|
| \( \int f'(x) \cdot e^{f(x)} \; dx = e^{f(x)} + C \) | |
| \( \int 2x \cdot e^{x^2} \; dx = e^{x^2} + C \) | |
| \( \int 2x \cdot e^{2x^2-1} \; dx =\frac{1}{2} \int 4x \cdot e^{2x^2-1} \; dx = \frac{1}{2} \cdot e^{2x^2-1} + C \) | |
| Die äußere Funktion enthält eine innere lineare Funktion | |
| \( \int f(ax+b) \cdot \; dx = \frac{1}{a} \cdot F(ax+b) + C \) | |
| \( \int(2x+3)^5 \; dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} \cdot (2x+3)^6 + C = \frac{1}{12} \cdot (2x+3)^6 + C\) | |
| \( \int \sqrt{5x+3} \; dx = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot (5x+3)^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{15} \cdot (5x+3)^{\frac{3}{2}} + C\) | |
| Die Integration der ln - Funktion | |
| \( \int lnx \; dx = -x + x \cdot lnx + C \) | |
5.1 Integrationsregeln