3.4 Mittlere Änderungsrate vs. lokale Änderungsrate

Während die Steigung einer Geraden überall gleich ist, besitzt der Graph einer beliebigen Funktion eine Steigung, die von der jeweiligen Stelle abhängt.

Bei der Entwicklung des Steigungsbegriffs für beliebige Funktionen spielen die mittlere Änderungsrate und die lokale Änderungsrate eine wichtige Rolle. In diesem Abschnitt sollen beide - auch mit ihren verschiedenen Bezeichnungen -gegenübergestellt werden.

 

Mittlere Änderungsrate

Die mittlere Änderungsrate für eine Funktion \(f\) im Intervall \([x_0; x_1] \) entspricht einerseits der Steigung der Geraden durch die Punkte \(P(x_0 | f(x_0)) \) und \(Q(x_1 | f(x_1)) \) und andererseits der mittleren Steigung des Graphen in diesem Intervall.

Man bezeichnet die mittlere Änderungsrate deshalb auch als Sekantensteigung, die sich gemäß der Entwicklung der Geradensteigung mit dem Differenzenquotienten \(m_s = \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} \) berechnen lässt.

Merke: Mittlere Änderungsrate = Steigung einer Sekanten = Differenzenquotient

 

 

Lokale Änderungsrate bzw. Ableitung \(f'\) einer Funktion

Die lokale Änderungsrate ist der Grenzwert des Differenzenquotienten, falls 

• der Punkt \(Q\) unendlich nahe an den Punkt \(P\) heranrückt.
• Das bedeutet aber auch, dass sich der x-Wert \(x_1\) des Punktes \(Q\) unendlich nahe an den x-Wert \(x_0\) des Punktes \(P\) nähert
• und letztendlich die Sekante zur Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(P\) wird.

  

Falls dieser Grenzwert existiert, gilt:
 

\[f'(x_0)= \lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} =\lim \limits_{h \to
0} \frac{f(x_0 +h)-f(x_0)}{h} \]   

Dieser Grenzwert wird als  Differentialquotient bezeichnet und sein Ergebnis \(f'(x_0)\) bezeichnet also nur die Steigung der Tangenten von \(G_f\) im Punkt \(P\) bzw. an der Stelle \(x_0\).

\(f'(x_0)\) wird als Ableitung der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) bezeichnet.

  

Beachte wieder die gleiche Bedeutung der Begriffe:  

Ableitung \(f'(x_0)\)	= Steigung der Tangente an \(G_f\) an der Stelle \(x_0\)
	= lokale Änderungsrate
	= Grenzwert des Differenzenquotienten
	= Differentialquotient

 

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Beispiel I	Anwendungsbeispiel zur mittleren / lokalen Änderungsrate - Temperaturverlauf
Beispiel II	Beispiele zur Tangentenbestimmung an den Graphen einer Funktion. Kombiniert mit Berechnung der Normalen an eine Funktion und Schnittwinkel mit der x-Achse.
Beispiel III	Ein Anwendungsorientiertes Beispiel aus der Biologie!

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