3. Steigung von Funktionen bzw. deren Funktionsgraphen

Dieses Kapitel behandelt die Untersuchung und Einteilung der Steigung von beliebig gekrümmten Funktionsgraphen.

Die Steigung eines Graphen einer Funktion \(f\) an einer Stelle \(x_0\) heißt Ableitung der Funktion an dieser Stelle.

Die Ableitung einer Funktion wird in der Regel als \(f'(x_0)\) bezeichnet.

 

Beschreibung der Steigung

 

  

 

Grundlegend für die Beschreibung der Steigung (Ableitung) einer Funktion \(f\) sind folgende Zusammenhänge und Schreibweisen:

• Ist \(f'(x_0)>0\), so steigt der Graph \(G_f\) an der Stelle \(x_0\).
   
• Ist \(f'(x_0)<0\), so fällt der Graph \(G_f\) an der Stelle \(x_0\).
   
• Ist \(f'(x_0)=0\), so hat der Graph \(G_f\) an der Stelle \(x_0\) ein Minimum oder Maximum oder einen Terrassenpunkt.

 

Monotonoieverhalten

Die Ableitung einer Funktion bedeutet grundsätzlich die Analyse der Steigung bzw. des Steigungsverhaltens einer Funktion in ihrem Definitionsbereich. Das Steigungsverhalten wird auch als Monotonieverhalten einer Funktion bezeichnet.

Die Ergebnisse der Monotoniebetrachtung liefern wichtige Informationen über den Verlauf des Funktionsgraphen und liefert zusätzlich, falls vorhanden, spezielle Punkte auf dem Graphen:

• Bereiche in denen der Graph steigt.
• Bereiche in denen der Graph fällt.
   
• Punkte in denen der Graph keine Steigung hat.
  - Hochpunkte (Maximum)
  - Tiefpunkte (Minimum)
  - Terrassenpunkte
   
• Punkte in denen der Graph kurzzeitig eine maximale Steigung bzw. ein maximales Gefälle hat, sog. Wendepunkte.

 

Monotonoieverhalten

Video mit Erklärungen grundlegender Begriffe und Zusammenhänge der Monotoniebetrachtung!
 

 

 

---