Mit Hilfe der Ergebnisse aus Kapitel 4 können wir unmittelbar den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ( kurz HDI) zur Berechnung bestimmter Integrale \(\int\limits_{a}^{b} f(x)dx\) formulieren:
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Ist \(F(x)\) eine beliebige Stammfunktion einer im Intervall \([a;b]\) stetigen Funktion \(f(x)\) dann gilt: \(\int\limits_{a}^{b} f(x)dx=\biggl[F(x)\biggr]_a^b=F(b)-F(a)\)
Beachte: |
Die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion \(f\) und der x-Achse im Intervall \([a;b]\) lässt sich gemäß dem HDI durch die Differenz der Funktionswerte einer beliebigen Stammfunktion \(F\) von \(f\) an den Intervallgrenzen berechnen. Die nachfolgende Grafik verdeutlicht diesen Zusammenhang:
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Man kann also den Wert eines bestimmten Integrals einer Funktion \(f\) berechnen, indem man vom Funktionswert \(F(b)\) einer Stammfunktion von \(f\) an der oberen Integrationsgrenze b den Funktionswert \(F(a)\) dieser Stammfunktion an der unteren Integrationsgrenze a subtrahiert.
5.1 Integrationsregeln