Im einführenden Beispiel in Kapitel 7.1 haben wir die Wahrscheinlichkeit bestimmt, dass wir eine beliebige weibliche Person mit Fehlsichtigkeit auswählen.
| Wir fragen also nach der
Wahrscheinlichkeit von
Fehlsichtigkeit F unter der
Bedingung W für
weiblich: Schreibweise: \( P_W(F)\) |
Basis ist weiterhin folgende Tabelle mit den Ereignissen:
| F: "Person ist fehlsichtig" W: "Person ist weiblich" |
|
Im Folgenden werden wir unsere bisherigen Ergebnisse in ein mathematisches Modell packen und eine wichtige Formel herleiten:
| "3 von 400 Frauen sind farbfehlsichtig" | \(P_W(F)=\frac{3}{600}\) | |
| Im Zähler steht also die Anzahl der Personen die gleichzeitig farbfehlsichtig und weiblich sind, also \( \left | W \cap F \right | \) und im Nenner die Anzahl der Frauen: \(\left | W \right | \) | \(P_W(F)=\frac{\left | W \cap F \right |}{\left | W \right |}= \frac{3}{600}\) | |
| Teilen wir Zähler und Nenner jeweils durch 1000 | \(P_W(F)=\large \frac{\frac{\left | W \cap F \right |}{1000}}{\frac{\left | W \right |}{1000}}=\large \frac{\frac{3}{1000}}{\frac{600}{1000}}= \frac{3}{600}\) | |
| Dann bleibt das Endergebnis gleich und im Zähler und Nenner stehen Wahrscheinlichkeiten der Eregnisse. | \(P_W(F)=\frac{P(W \cap F)}{P(W)}=\frac{0,3 \%}{60 \%} =\frac{3}{600}\) |
| Ergebnis: Sind A und B Ereignisse eines Zufallsexperiments mit \(P(A) \neq 0\) dann bezeichnet \(P_A(B)\) die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung A. Formel: \(\large P_A(B)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)} \) |
7.1 Bedingte