11.3 Verkettung von Funktionen

Werden zwei Funktion \(f\) und \(g\) hintereinander ausgeführt, dann wird diese Kombination als Verkettung der Funktionen \(f\) und \(g\) bezeichnet.

 

Definition: Werden zwei Funktionen \(f\) und \(g\) hintereinander ausgeführt, so wird diese Kombination in folgender Form dargestellt: \[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]   Die Berechnung der Funktionswerte ist ein zweistufiger Vorgang: Der jeweilige Wert von \(x\) wird im Prinzip erst in \(g(x)\) eingesetzt. Das Ergebnis von g(x) wird an die Funktion f weitergegeben und so das Ergebnis der Verkettung berechnet.   g wird als innere Funktion und f als äußere Funktion bezeichnet.

 

Verkettung in graphischer Darstellung

Die Abbildung auf der rechten Seite stellt die Berechnung von Funktionswerten einer verketteten Funktion \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \) dar. Ein beliebiger Wert \(x\) wird in die Funktion \(g(x)\), also in die innere Funktion, eingesetzt und man erhält den Wert \(g(x)\). Dieser Wert \(g(x)\) wird anschließend in die äußere Funktion \(f(x)\), eingesetzt. Man erhält als Ergebnis den Funktionswert \(f(g(x))\).

 

Erkennen von verketteten Funktionen

Alle verketteten Funktionen werden nach einem gut erkennbaren Muster aus einer äußeren und einer inneren Funktion zusammengebaut.

Es werden folgende Grundfunktionen in einer Verkettung mit anderen Funktionen kombiniert, in dem das Argument \(x\) der Grundfunktion gegen eine Argumentfunktion \(g(x)\) ersetzt wird:

• \(x^n\)
• \( \sqrt{x} \)
• \( sinx\)
• \(cosx\)
• \(e^x\)
• \(lnx\)

 

Beispiele:   

\(f(x)=sinx\)  und  \(g(x)=(2x-1) \hspace{1cm} \Rightarrow  \hspace{1cm} f(g(x))=sin (2x-1) \)

\(f(x)=\sqrt{x}\)  und  \(g(x)=(4x^2+3) \hspace{1cm} \Rightarrow  \hspace{1cm} f(g(x))=\sqrt{ 4x^2+3 } \)

\(f(x)=x^3\)    und  \(g(x)=(4x^2+3) \hspace{1cm} \Rightarrow  \hspace{1cm} f(g(x))=( 4x^2+3 )^3 \)

Die Funktion \(f\) ist in den Beispielen jeweils die äußere Funktion und \(g\) die innere Funktion.

 

 

Ableitung verketteter Funktionen

 

Die Ableitungsfunktion verketteter Funktionen \( h(x)=(f \circ g)(x) = f(g(x)) \) können wir uns wieder mit Hilfe des Differentialquotienten herleiten.

 

Es gilt wieder folgender Ansatz:

\[ h'(x)= (f(g(x_0)))'= \lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(g(x))-f(g(x_0))}{x-x_0} \]   

Aus dem Differentialquotienten lässt sich eine Ableitungsregel für verkettete Funktionen erarbeiten:

 

Kettenregel für die Ableitung von verketteten Funktionen Für eine Verkettung von Funktionen \( h'(x)=(f \circ g)(x) = f(g(x)) \) lässt sich die Ableitungsfunktion \(h'\) folgendermaßen bestimmen: \[ h'(x)=(f \circ g)'(x) = (\space f(g(x)) \space )'= f'(g(x)) \cdot g'(x) \]

 

 

Knackige Aufgaben zur Kettenregel

a)  \(f(x)=x \sqrt{1-x^2}\) b)  \(f(x)=(2-x)^3(3x^2-3x+2)^4 \) c) \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)

d)  \(f(x)=\frac{(3x-2)^3}{(2x-3)^2}\) e) \( f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\) f)  \(f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x-1}}\)

 

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