Geogebra

11.2 Ableitungsregeln beliebiger Kombinationen

Die bekannten Basisfunktionen können auf unterschiedliche Arten miteinander kombiniert werden. Eine beliebige Funktion kann mit einem Faktor multipliziert werden und zwei Funktionen \(f\) und \(g\) können addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert oder verkettet werden.
 

Kombinationen von Funktionen

 

  • Multiplikation mit einem Faktor:  \( c \cdot f(x) \)
  • Addition von Funktionen:           \(f(x)+ g(x)\)
  • Subtraktion von Funktionen:      \(f(x)- g(x)\)
  • Multiplikation von Funktionen:    \(f(x) \cdot g(x)\)
  • Quotient zweier Funktionen:      \( \frac{f(x)}{g(x)} \)
  • Verkettung von Funktionen:      \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)

 

Aus diesen Kombinationen lassen sich die nachfolgend aufgeführten Ableitungsregeln entwickeln.

Faktorregel \(g(x)=c \cdot f(x) \)
 		 \( \Rightarrow \hspace{5mm} g'(x)=c \cdot f'(x) \)  mit  \(c \in R\)
  \(f(x)= 0,1x^3\)
\(g(x)=\pi \cdot cosx\)
\(h(x)=-4lnx\)		 \( \Rightarrow \hspace{5mm}   f'(x) = 0,1 \cdot 3 \cdot x^2=0,3x^2 \)
\( \Rightarrow \hspace{5mm} g'(x)=-\pi \cdot sinx \)
\( \Rightarrow \hspace{5mm} h'(x)=-4 \cdot \frac{1}{x}=\frac{-4}{x}     \)

Summenregel \(h(x)=f(x) \pm g(x)     \)
 		 \( \Rightarrow \hspace{5mm} h'(x)=f'(x) \pm g'(x)     \)
  \(f(x)= 3x^3-5x   \)
\(g(x)=sinx+cosx\)
\(h(x)=x^{-1}+4\)		 \( \Rightarrow \hspace{5mm}   f'(x) = 9x^2-5 \)
\( \Rightarrow \hspace{5mm} g'(x)=cosx-sinx \)
\( \Rightarrow \hspace{5mm} h'(x)=-x^{-2}     \)

Produktregel \(h(x)= f(x) \cdot g(x) \)
 \(\Rightarrow \hspace{5mm}
 h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \)
 
  Kurz: \(\hspace{10mm} (u \cdot v)' =u' \cdot v + v' \cdot u\)
 
  \(f(x)= x^2 \cdot cosx   \)
\(g(x)=sinx \cdot cos  \)		 \( \Rightarrow \hspace{5mm}  f'(x) = 2x \cdot cosx - x^2 \cdot sinx \)
\(\Rightarrow \hspace{5mm} g'(x)=cosx \cdot cosx - sinx \cdot sinx\)
\( \hspace{25mm} = cos^2x-sin^2x\)
  \(h(x)=3x^2 \cdot e^x\) \(\Rightarrow \hspace{5mm} h'(x)=6x \cdot e^x +  3x^2 \cdot e^x\)
\( \hspace{25mm} = 3x \cdot e^x \cdot (2+x)\)
  \(k(x)=2x \cdot ln(x)\) \(\Rightarrow \hspace{5mm} k'(x)=2 \cdot ln(x) +  2x \cdot \frac{1}{x}\)
\( \hspace{25mm} = 2ln(x)+2\)
     

Quotientenregel \(f(x)= \frac{z(x)}{n(x)}   \)
 \(\Rightarrow \hspace{5mm}
 f'(x) = \frac{n(x) \cdot z'(x)-z(x) \cdot n(x)}{n^2(x)}\)  
 
  Kurz: \(\hspace{10mm} (\frac{z}{n})' =\frac{n \cdot z' - z \cdot n'}{n^2}\)
 
  \( f(x)=\frac{x-1}{x}\) \(\Rightarrow \hspace{5mm}
 f'(x) = \frac{x \cdot 1-(x-1) \cdot 1}{x^2} =\frac{1}{x^2}\)   
   

Kettenregel \(h(x)=f(g(x))   \)
 \(\Rightarrow \hspace{5mm}
 h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)  
 
  \( f(x)=sin(x^2) \) \(\Rightarrow \hspace{5mm}
 f'(x) = cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cdot cos(x^2) \)   
  \( g(x) = \sqrt{2x^2+4x^4} \) \(\Rightarrow \hspace{5mm}
 g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x^2+4x^4}} \cdot(4x+16x^3)= \frac{4x+16x^3}{2\sqrt{2x^2+4x^4}}\)  
  
\( \hspace{25mm} = \frac{2x+8x^3}{\sqrt{2x^2+4x^4}}\)   
  \(h(x)= 3 \cdot e^{3x^2+1} \) \(\Rightarrow \hspace{5mm}h'(x)=3 \cdot e^{3x^2+1} \cdot 6x \)
\( \hspace{25mm}=18x \cdot e^{3x^2+1}\)
  \(k(x)=ln(x^2+1)\) \(\Rightarrow \hspace{5mm}k'(x)=\frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1}\)

 

Beliebige Kombinationen

Die Regeln für die Ableitung von Kombinationen von Funktionen können natürlich beliebig miteinander kombiniert werden. Nachfolgend ein Beispiel aus Verbindung von Quotienten- und Kettenregel:
 

\( f(x)= \frac{(5x-3)^2}{x^2} \)   \( \hspace{10mm} Es \space gilt:\space (\frac{z}{n})' =\frac{n \cdot z' - z \cdot n'}{n^2}\)

 

\(f'(x)=\frac{x^2 \cdot 2 \cdot (5x-3) \cdot 5-(5x-3)^2 \cdot 2x}{x^4}=\frac{50x^3-30x^2-50x^3+60x^2-18x}{x^4}= \frac{30x^2-18x}{x^4}=\frac{30x-18}{x^3}\)