6. Differenzierbarkeit einer Funktion

Die Überprüfung der Differenzierbarkeit einer Funktion \(f\) beantwortet die Frage nach der Existenz der eindeutigen Ableitung an einer Stelle \(x_0\) aus der Definitionsmenge \(D_f\) der Funktion.

Wir erhalten durch die Überprüfung auf die Differenzierbarkeit einer Funktion die Information, an welchen Stellen \(x_0 \in D_f\) eine eindeutige Ableitung existiert und der Differentialquotient ein eindeutig bestimmbares Ergenis liefert.

\[ f'(x_0)=\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} =\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 +h)-f(x_0)}{h} \]

 

Dieses Ergebnis bedeutet anschaulich, dass wir eine Aussage erhalten, wo sich eine Funktion ableiten lässt.

 

Graphische Bedeutung

Differenzierbarkeit an einer Stelle
Eine Funktion \(f\) ist an einer Stelle \(x_0 \in D_f\) differenzierbar, wenn der Graph der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) eine eindeutige Tangente besitzt

Differenzierbarkeit einer Funktion
Die Differenzierbarkeit einer Funktion bedeutet, dass der Graph an jeder Stelle des Definitionsbereichs eine eindeutige Tangente besitzt.

  

Das GeoGebra-Applet zeigt den Graphen einer Polynomfunktion. Die Punkte \(L \) und \(R\) können auf dem Graphen beliebig verschoben werden und die zugehörigen Tangenten zeigen die aktuelle Steigung des Graphen. Egal an welcher Stelle des Graphen sich beide Punkte gegenseitig annähern, wir erhalten stets eine eindeutige Tangente.

Anschauliches Ergebnis:
Die Funktion ist offensichtlich im betrachteten Ausschnitt differenzierbar!

 

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