8.x Überblick über Ableitungsregeln
Aus den bekannten Basisfunktionen können mit dem Differentialquotienten sehr schnell grundlegende Ableitungsregeln zur eleganten Bestimmung der Ableitungsfunktion ermittelt werden. Auf Grundlage dieser Ableitungsregeln können wiederum weitere Regel für die Kombination von Basisfunktionen bestimmt werden.
Grundlegende Ableitungsregeln
Die folgende Übersicht bietet einen zusammenfassenden Überblick der
grundlegenden Ableitungsregeln einiger Basisfunktionen mit einfachen
Beispielen.
| Konstante Funktion | \(f(x)= c
\) |
\( \Rightarrow \hspace{5mm} f'(x) = 0 \) |
| \(f(x)= 5 \) | \( \Rightarrow \hspace{5mm} f'(x) = 0 \) |
| Potenzregel | \(f(x)= x^n \) |
\(\Rightarrow \hspace{5mm} f'(x) = n \cdot x^{n-1}\) für \(n \in Z\) |
| \(f(x)= x^3
\) \(g(x)=x^{-2}=\frac{1}{x^2} \) |
\( \Rightarrow \hspace{5mm} f'(x) = 3 \cdot x^2 \) \(\Rightarrow \hspace{5mm} g'(x)=-2 \cdot x^{-3} =-\frac{2}{x^{3}}\) |
| Trigonometrische Funktionen |
\(f(x)= sinx \) |
\(\Rightarrow \hspace{5mm} f'(x) = cosx\) |
| \(f(x)= cosx
\) |
\( \Rightarrow \hspace{5mm} f'(x)=-sinx \) |
| Wurzelfunktion | \(f(x)= \sqrt{x} \) |
\(\Rightarrow \hspace{5mm} f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}\) |
Ableitungsregeln für Kombinationen von Funktionen
Die bekannten Basisfunktionen können auf unterschiedliche Arten
miteinander kombiniert werden. So lassen sich zwei Funktionen \(f\) und
\(g\) addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren und verketten.
Überblick der Kombinationen:
- Addition von Funktionen: \(f(x)+ g(x)\)
- Subtraktion von Funktionen: \(f(x)- g(x)\)
- Multiplikation von Funktionen: \(f(x) \cdot g(x)\)
- Quotient zweier Funktionen: \( \frac{f(x)}{g(x)} \)
- Verkettung von Funktionen: \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)
Aus diesen Kombinationen lassen sich die nachfolgend aufgeführten Ableitungsregeln entwickeln.
| Summenregel | \(h(x)=f(x) \pm g(x)
\) |
\( \Rightarrow \hspace{5mm} h'(x)=f'(x) \pm g'(x) \) |
| \(f(x)= 3x^3-5x \) \(g(x)=sinx+cosx\) \(h(x)=x^{-1}+4\) |
\( \Rightarrow \hspace{5mm} f'(x) = 9x^2-5 \) \( \Rightarrow \hspace{5mm} g'(x)=cosx-sinx \) \( \Rightarrow \hspace{5mm} h'(x)=-x^{-2} \) |
| Produktregel | \(h(x)= f(x) \cdot g(x) \) |
\(\Rightarrow \hspace{5mm} h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \) |
| Kurz: | \(\hspace{10mm}
(u \cdot v)' =u' \cdot v + v' \cdot u\) |
|
| \(f(x)= x^2 \cdot cosx
\) \(g(x)=sinx \cdot cos \) |
\( \Rightarrow \hspace{5mm} f'(x) = 2x \cdot
cosx - x^2 \cdot sinx \) \(\Rightarrow \hspace{5mm} g'(x)=cosx \cdot cosx - sinx \cdot sinx\) \( \hspace{25mm} = cos^2x-sin^2x\) |
| Quotientenregel | \(f(x)= \frac{z(x)}{n(x)} \) |
\(\Rightarrow \hspace{5mm} f'(x) = \frac{n(x) \cdot z'(x)-z(x) \cdot n(x)}{n^2(x)}\) |
| Kurz: | \(\hspace{10mm}
(\frac{z}{n})' =\frac{n \cdot z' - z \cdot n'}{n^2}\) |
|
| \( f(x)=\frac{x-1}{x}\) | \(\Rightarrow \hspace{5mm} f'(x) = \frac{x \cdot 1-(x-1) \cdot 1}{x^2} =\frac{1}{x^2}\) |
|
| Kettenregel | \(h(x)=f(g(x)) \) |
\(\Rightarrow \hspace{5mm} h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\) |
| \( f(x)=sin(x^2) \) | \(\Rightarrow \hspace{5mm} f'(x) = cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cdot cos(x^2) \) |
|
| \( f(x) = \sqrt{2x^2+4x^4} \) | \(\Rightarrow \hspace{5mm} f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x^2+4x^4}} \cdot(4x+16x^3)= \frac{4x+16x^3}{2\sqrt{2x^2+4x^4}}\) \( \hspace{25mm} = \frac{2x+8x^3}{\sqrt{2x^2+4x^4}}\) |
Beliebige Kombinationen
Die Regeln für die Ableitung von Kombinationen von Funktionen können
natürlich beliebig miteinander kombiniert werden. Nachfolgend ein Beispiel
aus Verbindung von Quotienten-
und Kettenregel:
\( f(x)= \frac{(5x-3)^2}{x^2} \) \( \hspace{10mm} Es \space gilt:\space (\frac{z}{n})' =\frac{n \cdot z' - z \cdot n'}{n^2}\)
\(f'(x)=\frac{x^2 \cdot 2 \cdot (5x-3) \cdot 5-(5x-3)^2 \cdot 2x}{x^4}=\frac{50x^3-30x^2-50x^3+60x^2-18x}{x^4}= \frac{30x^2-18x}{x^4}=\frac{30x-18}{x^3}\)
Zusätzliche Unterlagen
| Übung zu Ableitungsregeln | Aufgaben | |