Geogebra

6. Steckbriefaufgaben - Funktionsterm bestimmen

Bei Steckbriefaufgaben werden ausgewählte Eigenschaften einer Funktion bzw. eines Funktionsgraphen vorgegeben. Wir müssen aus diesen Angaben die Gleichung der zugehörigen Funktion bestimmen, deren Graph diese Eigenschaften besitzt.

Alle Steckbriefaufgaben können in Textform oder mit einem graphischen Zusammenhang gegeben sein, aus dem die entsprechenden Bedingungen bestimmt werden müssen.

 

Rezept für Steckbriefaufgaben

Grundsätzlich können alle Steckbriefaufgaben mit folgenden "Fragen" bzw. Analysen vorbereitet werden.

  • Welche Art von Funktionsterm ist zu bestimmen?
    - Polynomfunktion, e-Funktion, ln-Funktion oder gebr.-rat. Funktion
  • Sind Symmetrieeigenschaften zu berücksichtigen?
  • Welche Informationen liegen vor?
  • Informationen sind in geeignete Gleichungen zu übersetzen.
  • Aufstellen eines Gleichungssystems.
    - allgemeinen Funktionsterm aufstellen
    - evtl. allgemeine Ableitungen ermitteln
    - so viele Variablen zu bestimmen sind, so viele Gleichungen sind nötig

Diese Informationen werden mit allgemeinen Funktionstermen, d.h. mit unbekannten Koeffizienten in ein Gleichungssystem umgesetzt. Das Bestimmen des jeweiligen Funktionsterms erfolgt durch die Lösung des dann vorliegenden Gleichungssystems.

 

Tabelle zur Analyse und Umsetzung der Informationen

 

Hinweise im Text / aus Graphen Umsetzung in Gleichung
... verläuft durch den Punkt \(\small P(x_0|y_0)\) ...
... hat im Punkt \(\small P(x_0|y_0)\) ...		 \(\small f(x_0)=y_0 \)
... verläuft durch den (Koordinaten-) Ursprung ... \(\small f(0)=0 \)
... schneidet die x-Achse in \(\small x_0\) ... \(\small x_0\) ist ungeradfache Nullstelle / Nullstelle mit Vorzeichenwechsel
 
\(\small f(x_0)=0\)
... schneidet die y-Achse bei \(\small y=b \)... \(\small f(0)=b\)
… berührt die x-Achse in \( \small x_0 \) … \(\small x_0\) ist geradfache Nullstelle / Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel
 
\(\small f(x_0)=0\)
... hat bei \( \small x_0 \) die Steigung \( \small m \) ...
... verläuft bei \(\small x_0\) parallel zur Geraden
\(\small y=m \cdot x+t \) ...		 \( \small f'(x_0)=m \)
... hat die Extremstelle \(\small E(x_0|y_0) \) ... \( \small f(x_0)=y_0 \) und \( \small f'(x_0)=0\)
... hat eine Extremstelle bei \( \small x_0 \) ...
... hat eine waagrechte Tangente bei \( \small x_0 \)		 \( \small f'(x_0)=0\)
... hat bei \( \small x_0 \) einen Wendepunkt ... \(\small f''(x_0)=0 \)
... hat bei \( \small x_0\) die Wendetangente \( \small y=mx+t \) \(\small f'(x_0)=m\) und \(\small f''(x_0)=0 \)
... hat bei \( \small x_0\) einen Terrassenpunkt ... \(\small f'(x_0)=0\) und \(\small f''(x_0)=0 \)
... hat bei \(\small x_0\) eine Definitionslücke / Polstelle ... Grad der Polstelle mit geeignetem n im Linearfaktor berücksichtigen
\( \frac{zähler(x)}{...(x-x_0)^n} \)

 

Steckbriefaufgaben von ganzrationalen Funktionen

Grundlage von Steckbriefaufgaben mit ganzrationalen Funktionen vom Grand \( \small n\) (Polynome vom Grand \(\small n\))  sind der Funktionsterm in allgemeiner Form und gegebenenfalls die entsprechenden Ableitungsfunktionen.

Beispiel: Ganzrationale Funktion

  • allgemeiner Term: \(\small f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)
  • erste Ableitung:    \(\small f'(x)=3ax^2+2bx+c\)
  • zweite Ableitung: \( \small f''(x)=6ax+2b\)
     
  • Scheitelpunktform:  \( \small f(x)=a \cdot (x-x_s)^2+y_s\)
  • Nullstellenform:      \(\small f(x)=a \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2) \cdot (x-x_3) ... \)

 

 

Bestimme jeweils den Funktionsterm der Funktion \(f\):


Beispiel 1:

Für eine ganzrationale Funktion \(f\) dritten Grades hat am Koordinatenursprung eine Extremstelle und im Punkt \(P(1|1)\) einen Wendepunkt.

Lösung

Lösung Muster 


Beispiel 2:

Für eine ganzrationale Funktion \(f\) zweiten Grades gilt:
\(H(2|3)\) ist der Hochpunkt und \(P(4|-1)\) ein weiterer Punkt des Graphen \(G_f\).

Lösung

Lösung 1


Beispiel 3:
Eine ganzrationale Funktion \(f\) dritten Grades hat den Hochpunkt \(H(0|5)\) und den Wendepunkt und \(P(2|1)\).
Lösung

Lösung 2


Beispiel 4:
Eine ganzrationale Funktion \(f\) zweiten Grades hat den Tiefpunkt \(T(-2|-6)\) und an der Stelle 1 die Steigung 3.
Lösung

Lösung 2


Beispiel 5:
Eine ganzrationale Funktion \(f\) dritten Grades berührt die x-Achse im Punkt  \(P(2|0)\), schneidet sie im Punkt \(Q(-4|0) \) und schneidet die y-Achse im Punkt \(P(0|2)\).
Lösung

Lösung 4 


Beispiel 5:
Eine ganzrationale Funktion \(f\) dritten Grades berührt die x-Achse im Punkt  \(P(2|0)\), schneidet sie im Punkt \(Q(-4|0) \) und schneidet die y-Achse im Punkt \(P(0|2)\).
Lösung

Lösung 4 


Beispiel 6:
Eine ganzrationale Funktion \(f\) dritten Grades hat einen Term der Form \( f(x)=\frac{1}{4}x^3+bx+c \). Der Graph der Funktion \(f \) verläuft durch den Punkt  \(P(-2|3)\) der Graph hat in diesem Punkt die Steigung \(1\).
Lösung


Beispiel 7:
 Der Graph einer ganzrationalen Funktion \(f\) dritten Grades verläuft durch \(P(1|4) \). \(W(3|6) \) ist Wendepunkt des Graphen. Die Tangente am Kurvenpunkt mit dem x-Wert 4 verläuft waagrecht.
Lösung


Beispiel 8:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion \(f\) dritten Grades hat im Punkt \(A(3|a) \) die Gerade \( y=11x-27\) als Tangente und im Punkt \(W(1|0) \) einen Wendepunkt.

Es ist zu bestimmen:

a) die Gleichung der Funktion
b) die Nullstellen der Funktion
c) Monotoniebetrachtung sowie Lage und Art der Extremstellen
d) die Gleichung der Wendetagente
e) eine Skizze des Graphen

Lösung